Groups

1. Definition and Examples of Groups

군, 즉 Group은 17세기 초 갈루아가 만든 개념이다.

엄밀한 정의는 17세기 후반 베버와 딕에 의해 세워졌는데, 20세기까지도 잘 받아들여지지 않았다고 한다.

이항 연산이란?
집합 $G(\neq \varnothing)$에 대해 $G\times G\to G$인 어떤 함수를 뜻한다.
즉, $\forall x,y\in G,\ *(x,y)\in G$인 함수를 뜻한다. 대개는 $*(x,y)$를 $x*y$나 $xy$로 축약하여 사용한다.

집합과 이항연산의 쌍을 '이항 대수 구조'라고 하고, $\langle S,*\rangle$라고 쓴다.
만약 $*:S\times S\to S$라면 $\langle S,*\rangle$는 특히 '마그마'이다.

마그마 $\langle S,*\rangle$에 대해 $*$가 $S$에 대해 '닫혀 있다'고 표현한다. 정의에 의해 어떤 함숫값도 원래 집합에 속한다는 것이다.

많은 기초적인 연산들이 닫혀 있으므로 이항 연산에 해당한다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 $\mathbb Z$와 $\mathbb R$에 대해 닫혀있다. 더 나아가 완전 잉여계 $Z_n:=\{0,1,\cdots,n-1\}$에 대해서도 닫혀있다.

군이란?
$\langle G,*\rangle$에 대해, 다음의 3가지 조건이 만족하면 '군'이라고 한다.
조건 1. 결합법칙: $\forall a,b,c, (ab)c=a(bc).$
조건 2. 항등원: $\forall a,\exists e: ae=ea=a.$
조건 3. 역원: $\forall a, \exists b: ab=ba=e.$

위의 역원 $b$는 $a^{-1}$이라고 표현한다.
[조건 1]만 만족하면 '반군', [조건 1]과 [조건 2]를 만족하면 '모노이드'라고 한다.
군이 '가환'을 만족한다면 '아벨군'이라고 한다. '가환'은 교환법칙과 같은 뜻이다.